155x Filetype PDF File size 1.03 MB Source: www.win.tue.nl
CourseNotes Tensor Calculus and Differential Geometry 2WAH0 LucFlorack March10,2021 Cover illustration: papyrus fragment from Euclid’s Elements of Geometry, Book II [8]. Contents Preface iii Notation 1 1 Prerequisites from Linear Algebra 3 2 Tensor Calculus 7 2.1 Vector Spaces and Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Dual Vector Spaces and Dual Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 TheKroneckerTensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Reciprocal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 Bases, Dual Bases, Reciprocal Bases: Mutual Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7 Examples of Vectors and Covectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.8 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8.1 Tensors in all Generality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8.2 Tensors Subject to Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.8.3 SymmetryandAntisymmetryPreserving Product Operators . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.8.4 Vector Spaces with an Oriented Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.8.5 Tensors on an Inner Product Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8.6 Tensor Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.8.6.1 “Absolute Tensors” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 CONTENTS i 2.8.6.2 “Relative Tensors” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.8.6.3 “Pseudo Tensors” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8.7 Contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.9 TheHodgeStarOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 Differential Geometry 47 3.1 Euclidean Space: Cartesian and Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Differentiable Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Tangent Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Tangent and Cotangent Bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Exterior Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6 AffineConnection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.7 Lie Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.8 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.9 Levi-Civita Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.10 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.11 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.12 Push-Forward and Pull-Back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.13 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.13.1 Polar Coordinates in the Euclidean Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.13.2 A Helicoidal Extension of the Euclidean Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
no reviews yet
Please Login to review.