jagomart
digital resources
picture1_Bc48678ef179556cc639b6b28e42d81c Mit18 01sc Pset1sol


 134x       Filetype PDF       File size 0.42 MB       Source: ocw.mit.edu


File: Bc48678ef179556cc639b6b28e42d81c Mit18 01sc Pset1sol
solutions to 18 01 exercises unit 1 dierentiation 1a graphing 2 1a 1 2 a y x 1 2 b y 3 x2 2x 2 3 x 1 2 1 ...

icon picture PDF Filetype PDF | Posted on 25 Jan 2023 | 2 years ago
Partial capture of text on file.
 
                                                               SOLUTIONS TO 18.01 EXERCISES 
                                                                        Unit 1.  Differentiation 
                                                                                  1A. Graphing 
                                                                     2 
                                      1A-1,2  a) y = (x − 1) − 2 
                                             b) y = 3(x2 +2x)+2 = 3(x + 1)2 − 1 
                                                                                      2                                      2
                                                        1                                                         1
                                                -2                                   -1                 -2                          1
                                                      1a                           1b                       2a                    2b
                                                                      3                3 
                                      1A-3  a) f(−x) = (−x) − 3x = −x − 3x = −f(x), so it is odd. 
                                                                            4               4 
                                                                1 − (−x)             1 −x
                                                             2             2
                                             b) (sin(−x)) = (sin x) , so it is even. 
                                             c)  odd , so it is odd 
                                                 even 
                                                    − x)4 =�   ±(1 + x)4: neither. 
                                             d) (1 
                                                           2           2
                                             e) J ((−x) ) = J (x ), so it is even. 
                                                  0                0
                                      1A-4  a) p(x) = p (x)+ p (x), where p (x) is the sum of the even powers and p (x) 
                                                              e        o                e                                                   o
                                      is the sum of the odd powers 
                                             b) f(x) = f(x)+ f(−x) + f(x) − f(−x) 
                                                                   2                     2 
                                          F (x) = f(x)+ f(−x) is even and G(x) = f(x) − f(−x) is odd because 
                                                             2                                            2 
                                          COPYRIGHT  DAVID  JERISON  AND  MIT  1996,  2003 
                                                                                           1 
                               E. Solutions to 18.01 Exercises                                    1.  Differentiation 
                                 F (−x) = f(−x)+ f(−(−x)) = F (x);           G(−x)= f(x) − f(−x) = −G(−x). 
                                                    2                                         2 
                                    c) Use part b: 
                                    1   +     1    =         2a        =     2a      even 
                                                                            2    2 
                                  x + a    −x + a     (x + a)(−x + a)     a − x
                                    1   −     1    =        −2x        =  −2x        odd 
                                                                            2    2 
                                  x +a     −x + a     (x + a)(−x + a)     a − x
                                  =⇒  1  =         a    −     x 
                                                 2    2     2    2 
                                      x + a     a − x      a − x
                                               x − 1                                                  3y + 1 
                               1A-5  a) y =          .  Crossmultiply and solve for x, getting x =          ,  so the 
                                              2x +3                                                   1 − 2y 
                                                   3x +1 
                               inverse function is        . 
                                                   1 − 2x 
                                             2                2 
                                    b) y = x +2x = (x + 1) − 1 
                                  (Restrict domain to x ≤ −1, so when it’s flipped about the diagonal y  = x, 
                                                                                                     √
                               you’ll still get the graph of a function.)  Solving for x, we get x =   y +1 − 1, so 
                                                           √       − 1 . 
                               the inverse function is y =   x +1 
                                                      g(x)                                                  g(x)
                                                                                             f(x)
                                    f(x)
                                                   5a                                             5b
                                              √                    √                       √
                               1A-6  a) A =  1+3 = 2, tan c =  3, c = π. So sin x +  3cos x = 2 sin(x + π) . 
                                                                    1        3                                  3 
                                       √           π 
                                    b)   2sin(x −  )
                                                   4 
                                                                     π 
                               1A-7  a) 3 sin(2x − π) = 3sin2(x −  ), amplitude 3, period π, phase angle π/2. 
                                                                     2 
                                                   π 
                                    b) −4cos(x +  ) = 4sin x amplitude 4, period 2π, phase angle 0. 
                                                   2                     2 
                                                                      1.  Differentiation                                                                                                         E. Solutions to 18.01 Exercises 
                                                                                            3                                                                                                                                    4
                                                                                                                  π                       2π                                                                                                     π                2π
                                                                                    -3                                                                                                                                                  -4
                                                                                                          7a                                                                                                                                  7b
                                                                      1A-8 
                                                                             f(x) odd =⇒  f(0) = −f(0) =⇒ f(0) = 0. 
                                                                             So f(c) = f(2c) = ··· = 0, also (by periodicity, where c is the period). 
                                                                      1A-9 
                                                                                                                  2                                                                                                               3
                                                                                                                                                                                                        -8          -4                    4            8            12
                                                                             -7         -5          -3        -1          1           3          5
                                                                                                                        -1
                                                                                              9ab    period = 4                                                                                                  9c                -6
                                                                                  c) The graph is made up of segments joining (0, −6) to (4, 3) to (8, −6).  It 
                                                                      repeats in a zigzag with period 8. * This can be derived using: 
                                                                      (1)                              x/2 − 1 = −1 =⇒    x = 0 and g(0) = 3f(−1) − 3 = −6
                                                                      (2)                                  x/2 − 1 = 1  =⇒    x = 4 and g(4) = 3f(1) − 3 = 3 
                                                                      (3)                                  x/2 − 1 = 3  =⇒    x = 8 and g(8) = 3f(3) − 3 = −6
                                                                      (4) 
                                                                      1B. Velocity and rates of change 
                                                                                                                                                                           2 
                                                                      1B-1  a) h =  height of tube  = 400 − 16t . 
                                                                                                                                                                                                 2
                                                                                             average speed h(2) − h(0) = (400 − 16 · 2 ) − 400 = −32ft/sec
                                                                                                                                             2                                             2 
                                                                             (The minus sign means the test tube is going down. You can also do this whole 
                                                                      problem using the function s(t) = 16t2, representing the distance down measured 
                                                                      from the top. Then all the speeds are positive instead of negative.) 
                                                                                  b) Solve h(t) = 0 (or s(t) = 400) to find landing time t = 5. Hence the average 
                                                                      speed for the last two seconds is 
                                                                                                                                                                                           2
                                                                                                                h(5) − h(3) = 0 − (400 − 16 · 3 ) = −128ft/sec
                                                                                                                             2                                          2 
                                                                                                                                                                       3 
                               E. Solutions to 18.01 Exercises                                     1.  Differentiation 
                                    c) 
                                                 h(t) − h(5)    400 − 16t2 − 0     16(5 − t)(5 + t)
                               (5)                  t − 5    =       t − 5      =       t − 5 
                               (6)                           = −16(5 + t) → −160ft/sec  as t → 5
                               1B-2  A tennis ball bounces so that its initial speed straight upwards is b feet per 
                               second. Its height s in feet at time t seconds is 
                                                                   s = bt − 16t2 
                                    a) 
                                            s(t + h) − s(t)   b(t + h) − 16(t + h)2 − (bt − 16t2)
                               (7)                h         =                  h 
                                                              bt + bh − 16t2 − 32th − 16h2 − bt + 16t2 
                               (8)                          =                      h 
                                                                               2 
                               (9)                          = bh − 32th − 16h
                                                                       h 
                               (10)                         = b − 32t − 16h → b − 32t as h → 0
                               Therefore, v = b − 32t. 
                                    b) The ball reaches its maximum height exactly when the ball has finished 
                               going up. This is time at which v(t) = 0, namely, t = b/32. 
                                    c) The maximum height is s(b/32) = b2/64. 
                                    d) The graph of v is a straight line with slope −32. The graph of s is a parabola 
                               with maximum at place where v = 0 at t = b/32 and landing time at t = b/16. 
                                                      v b
                                                                          s
                                                              b/32
                                                                  t              b/32   b/16   t
                                                     graph of velocity                    graph of position
                                    e) If the initial velocity on the first bounce was b = b, and the velocity of the 
                                                                                       1            √
                               second bounce is b          2              2
                                                   , then b /64 = (1/2)b /64. Therefore, b = b / 2. The second 
                                                  2        2              1                  2    1
                               bounce is at b /16 + b /16.                                            (continued →)
                                             1        2                  4 
The words contained in this file might help you see if this file matches what you are looking for:

...Solutions to exercises unit dierentiation a graphing y x b f so it is odd sin even c neither d e j p where the sum of powers and o g because copyright david jerison mit use part crossmultiply solve for getting inverse function restrict domain when s ipped about diagonal you ll still get graph solving we tan cos amplitude period phase angle also by periodicity ab made up segments joining...

no reviews yet
Please Login to review.